售出-购进平价理论

Put-Call Parity

售出-购进平价理论(Put-Call Parity)指在无套利原则下(Non-Arbitrage),欧式看涨期权(Call Option)和欧式看跌期权(Put Option)定价之间存在的基本关系。

看涨/看跌期权

看涨期权,Call Option,也被称为买进期权,买方期权,买权,延买期权或“敲进”(Knock In),是指期权的购买者拥有在期权合约规定有效期内按照执行价格购买 一定数量的标的物的权利。

看跌期权,Put Option,也被称为认沽期权、卖出期权、出售期权、卖权选择权、卖方期权、卖权、延卖期权或“敲出”(Knock Out),是指期权的购买者拥有在期权合约规定有效期内按照执行价格卖出 一定数量的标的物的权利。

举个例子,买家以20元购买了卖家的看期权,约定在一年后执行,执行价格为1500元,标的物是一吨铜。一年后铜的价格至2000元一吨,买家行使期权,以执行价格1500从卖家购买一吨铜(价值2000),获利2000-1500-20*K(K为贴现系数),卖家亏损2000-1500-20*K。如果一年后铜的价格至1300元一吨, 买家不行使期权,亏损20*K,卖家获利20*K。

改动一下,买家以20元购买了卖家的看期权,约定在一年后执行,执行价格为1500元,标的物是一吨铜。一年后铜的价格至1300元一吨,买家行使期权,以执行价格1500向卖家售出一吨铜(价值1300),获利1500-1300-20*K(K为贴现系数),卖家亏损1500-1300-20*K。如果一年后铜的价格至2000元一吨, 买家不行使期权,亏损20*K,卖家获利20*K。

推广可得,在期权行使时间看涨期权的获利/亏损可以表示为:

$$ \max (0, S_T - E) - q^np $$

其中,\(S_T\)是现价,\(E\)是执行价格,\(q\)是利率,\(p\)是购买权力费用,\(n = T-t\)是执行时间。

看跌期权的获利/亏损则为:

$$ \max (0, E - S_T) - q^np $$

由此可见,期权买方有权利无义务,风险有限,最大损失是权利金,对于看涨期权,理论获利无上限,对于看跌期权,获利是有限的。而期权卖方有义务无权利,获利是有限的,而对于看涨期权,风险无限,对于看跌期权,风险有限。

另外,期权分为美式期权和欧式期权,区别在于美式期权可以在到期日前任何时间行使权力,而欧式期权只能在到期日行使权力。但欧式期权可以在任何时间转让期权。

售出-购进平价理论

考虑两个投资组合:

  1. 买入一份欧式看涨期权,卖出一份欧式看跌期权,执行价格\(E\),无股息。

  2. 买入一单位标的物股权,借入\(\frac{E}{q}\)债券。

对于1,如果到期标的物价格下跌,不行使看涨期权,看跌期权买家行使权力,需要以执行价格\(E(>S_T)\)买入;如果价格上涨,行使看涨期权,看跌期权买家不行使权力,以执行价格\(E(<S_T)\)买入,两个情况结果一致,相当于支付价值\(S_T-E\)。

对于2,期权到期(\(T\))时,一单位标的物股权和债券的支付价值也为\(S_T - q\frac{E}{q} = S_T - E\)。

基于无套利原则,在\(T\)时两个投资组合的支付价值一致,在之前的每个时间的价值也应该是一致的。所以在初始状态\(t\)时,有:

$$ c-p=S_t-\frac{E}{q} $$

其中\(c\),\(p\)分别表示看跌/看涨期权的现价,\(S_t\)标的物的现价,\(E\)执行价格,\(q\)利率。

美式期权的提前行权

美式期权可以在到期日前任何时间行使权力。根据售出-购进平价理论有:

$$ c=p+S_t-\frac{E}{q^n} \geq S_t-\frac{E}{q^n} \geq S_t-E $$

因为现价永远大于执行价格,所以提前行使期权不值得。美式看涨期权基本不可能提前行权。这样可以得出美式看涨期权的定价和欧式一致。

而:

$$ p=c-S_t+\frac{E}{q^n} \ ? \ E - S_t $$

大小关系未知,所以美式看跌期权有可能提前行权。