售出-购进平价理论

Put-Call Parity

December 07, 2018

售出-购进平价理论（Put-Call Parity）指在无套利原则下（Non-Arbitrage），欧式看涨期权（Call Option）和欧式看跌期权（Put Option）定价之间存在的基本关系。

看涨/看跌期权

看涨期权，Call Option，也被称为买进期权，买方期权，买权，延买期权或“敲进”（Knock In），是指期权的购买者拥有在期权合约规定有效期内按照执行价格购买一定数量的标的物的权利。

看跌期权，Put Option，也被称为认沽期权、卖出期权、出售期权、卖权选择权、卖方期权、卖权、延卖期权或“敲出”（Knock Out），是指期权的购买者拥有在期权合约规定有效期内按照执行价格卖出一定数量的标的物的权利。

举个例子，买家以20元购买了卖家的看涨期权，约定在一年后执行，执行价格为1500元，标的物是一吨铜。一年后铜的价格涨至2000元一吨，买家行使期权，以执行价格1500从卖家购买一吨铜（价值2000），获利2000-1500-20*K（K为贴现系数），卖家亏损2000-1500-20*K。如果一年后铜的价格跌至1300元一吨，买家不行使期权，亏损20*K，卖家获利20*K。

改动一下，买家以20元购买了卖家的看跌期权，约定在一年后执行，执行价格为1500元，标的物是一吨铜。一年后铜的价格跌至1300元一吨，买家行使期权，以执行价格1500向卖家售出一吨铜（价值1300），获利1500-1300-20*K（K为贴现系数），卖家亏损1500-1300-20*K。如果一年后铜的价格涨至2000元一吨，买家不行使期权，亏损20*K，卖家获利20*K。

推广可得，在期权行使时间看涨期权的获利/亏损可以表示为：

$$ \max (0, S_T - E) - q^np $$

其中，$S_T$是现价，$E$是执行价格，$q$是利率，$p$是购买权力费用，$n = T-t$是执行时间。

看跌期权的获利/亏损则为：

$$ \max (0, E - S_T) - q^np $$

由此可见，期权买方有权利无义务，风险有限，最大损失是权利金，对于看涨期权，理论获利无上限，对于看跌期权，获利是有限的。而期权卖方有义务无权利，获利是有限的，而对于看涨期权，风险无限，对于看跌期权，风险有限。

另外，期权分为美式期权和欧式期权，区别在于美式期权可以在到期日前任何时间行使权力，而欧式期权只能在到期日行使权力。但欧式期权可以在任何时间转让期权。

售出-购进平价理论

考虑两个投资组合：

买入一份欧式看涨期权，卖出一份欧式看跌期权，执行价格$E$，无股息。
买入一单位标的物股权，借入$\frac{E}{q}$债券。

对于1，如果到期标的物价格下跌，不行使看涨期权，看跌期权买家行使权力，需要以执行价格$E(>S_T)$买入；如果价格上涨，行使看涨期权，看跌期权买家不行使权力，以执行价格$E(<S_T)$买入，两个情况结果一致，相当于支付价值$S_T-E$。

对于2，期权到期（$T$）时，一单位标的物股权和债券的支付价值也为$S_T - q\frac{E}{q} = S_T - E$。

基于无套利原则，在$T$时两个投资组合的支付价值一致，在之前的每个时间的价值也应该是一致的。所以在初始状态$t$时，有：

$$ c-p=S_t-\frac{E}{q} $$

其中$c$，$p$分别表示看跌/看涨期权的现价，$S_t$标的物的现价，$E$执行价格，$q$利率。

美式期权的提前行权

美式期权可以在到期日前任何时间行使权力。根据售出-购进平价理论有：

$$ c=p+S_t-\frac{E}{q^n} \geq S_t-\frac{E}{q^n} \geq S_t-E $$

因为现价永远大于执行价格，所以提前行使期权不值得。美式看涨期权基本不可能提前行权。这样可以得出美式看涨期权的定价和欧式一致。

而：

$$ p=c-S_t+\frac{E}{q^n} \ ? \ E - S_t $$

大小关系未知，所以美式看跌期权有可能提前行权。